Por que a quântica é complexa?

A mecânica quântica é escrita com números complexos. As amplitudes de probabilidade são números complexos e a unidade imaginária i aparece na equação de Schrödinger. Mas isso é essencial, ou apenas conveniência matemática?

A pergunta é antiga e tem duas respostas — e a diferença entre elas só ficou nítida em 2021. Este curso percorre o que está provado (machine-checked) e marca, com honestidade, onde a prova termina e começa o resultado experimental.

Para um sistema isolado, números reais bastam. Todo espaço de Hilbert complexo de dimensão n pode ser reescrito como um espaço real de dimensão 2n, trocando i pela matriz J = [[0,−1],[1,0]], que satisfaz J² = −I — uma "raiz de −1" real em dimensão 2.

Essa complexificação preserva o que importa: estados, efeitos e as probabilidades da regra de Born. Por décadas, MQ real e complexa pareceram operacionalmente indistinguíveis para um sistema só. A prova ao lado mostra que essa cópia de ℂ nas matrizes reais 2×2 é fiel (injetiva).

Se real e complexo coincidem para um sistema, como distingui-los? Uma pista está na contagem de parâmetros de um estado: o real precisa de d(d+1)/2 números, o complexo de d², o quaterniônico de 2d²−d.

Esse número é uma impressão digital. A tomografia local — reconstruir o todo a partir de medições nas partes — só funciona quando os parâmetros do composto são o produto dos das partes. A prova ao lado mostra que essa condição seleciona exatamente o complexo: a MQ real não é localmente tomográfica.

Há uma diferença algébrica nítida. Pergunte: quantas observáveis de resultado ±1 podem anticomutar todas aos pares? No complexo, três — as matrizes de Pauli σx, σy, σz. No real 2×2, no máximo duas.

A terceira anticomutante é σy, a que carrega o i. Ela é a dimensão que o real não tem. A prova ao lado formaliza as duas afirmações. Mas atenção: essa raiz sustenta, e não prova, a separação experimental da próxima lição.

Tudo muda em redes com fontes independentes. Renou e colaboradores (Nature, 2021) mostraram que há correlações alcançáveis pela MQ complexa que nenhuma MQ real reproduz — uma desigualdade de Bell bilocal em que o teto real fica abaixo do valor complexo. Em 2022, o experimento foi realizado (fotônica e supercondutores), descartando a MQ real como teoria física.

Honestidade: este resultado é conhecido e experimental, e envolve otimização (SDP) que NÃO formalizamos. O que formalizamos é o fundamento — a complexificação de sistema único (lição 2) e a raiz algébrica (lição 4). Esta lição enquadra Renou, não o re-deriva; por isso ela não tem "prova on click" — seria desonesto fingir que temos.